SONEL - удобно, точно, надежно!
Наша библиотека
Теоретические основы электротехники

§ 2.8. Составление уравнений для расчета токов в схемах с помощью законов Кирхгофа

Главная // .. // § 2.8. Составление уравнений для расчета токов в схемах с помощью законов Кирхгофа

§ 2.8. Составление уравнений для расчета токов в схемах с помощью законов Кирхгофа. Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы в, число ветвей, содержащих источники тока, - вит и число узлов у. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется в - вит. Перед тем как составить уравнения, необходимо произвольно выбрать: а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например по часовой стрелке.

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу узлов без единицы, т. е. у - 1.

Уравнение для последнего у-го узла не составляют, так как оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже составленных уравнений для у - 1 узлов, поскольку в эту сумму входили бы дважды и с противоположными знаками токи ветвей, не подходящих к у-му узлу, а токи ветвей, подходящих к у-му узлу, входили бы в эту сумму со знаками, противоположными тем, с какими они вошли бы в уравнение для у-го узла.

По второму закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу ветвей без источников тока (в - вит), за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т. е. (в - вит) - (у - 1) = в - вит - у + 1.

Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, следует охватить все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока.

Если попытаться составить уравнение по второму закону Кирхгофа в форме (2.4) для контура, в который входит источник тока, то в него вошли бы бесконечно большие слагаемые и оно не имело бы смысла.

При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми.

Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, а потому его не всегда выполняют. В таких случаях часть уравнений по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все ветви которых уже вошли в предыдущие контуры.

Рис.2.9

Клещи электроизмерительные

CMP-2000 Клещи электроизмерительные
CMP-1006 Клещи электроизмерительные
CMP-401 Клещи электроизмерительные
CMP-400 Клещи электроизмерительные
CMP-200 Клещи электроизмерительные


Пример 10. Найти токи в ветвях схемы рис. 2.9, в которой Е1 = 80 В, Е2 = 64 В, R1 = 6 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 1 Ом.

Решение. Произвольно выбираем положительные направления тока в ветвях. В схеме рис. 2.9, в = 3; вит = 0; у = 2.

Следовательно, по первому закону Кирхгофа, можно составить только одно уравнение:

I1 + I2 = I3          (а)

Нетрудно убедиться, что для второго узла получили бы аналогичное уравнение. По второму закону Кирхгофа составим в - вит - (у - 1) = 3 - 0 - (2 - 1) = 2 уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Для контуров R1E1R2E2

I1R1 - I2R2 = E1 + E2          (б)

Знак плюс перед I1R1 взят потому, что направление тока совпадает с направлением обхода контура; знак минус перед I2R2 - потому, что направление I2 встречно обходу контура.

Для контура E2R2R3R4

I2R2 + I3 (R3 + R4) = - E2          (в)

Совместное решение уравнений (а) - (в)дает I1 = 14 А, I2 = - 15 А, I3 = - 1 А.

Поскольку положительные направления токов выбирают произвольно, в результате расчета какой-либо один или несколько токов могут оказаться отрицательными. В рассмотренном примере отрицательными оказались токи I2 и I3, что следует понимать так: направления токов I2 и I3 не совпадают с направлениями, принятыми для них на рис. 2.9 за положительные, т. е. в действительности токи I2 и I3 проходят в обратном направлении.

Для выбора контура таким образом, чтобы в каждый из них входило по одной ветви, не входящей в остальные контуры, используют понятие дерева. Поддеревом понимают совокупность ветвей, касающихся всех узлов, но не образующих ни одного замкнутого контура. Из одной и той же схемы можно образовать несколько деревьев. При составлении системы уравнений по второму закону Кирхгофа можно взять любое дерево из возможных.

Рис. 2.10

Одно из возможных деревьев схемы рис. 2.10, а изображено на рис. 2.10, б, а на рис. 2.10, в - четыре независимых контура, в каждый из которых входит по одной пунктиром показанной ветви, не входящей в остальные. Более подробно о топологии электрических схем см. § 2.31 - 2.35 и А.5 - А. 10.