SONEL - удобно, точно, надежно!
Наша библиотека
Теоретические основы электротехники

§ 2.36. Соотношения между топологическими матрицами

Главная // .. // § 2.36. Соотношения между топологическими матрицами

§ 2.36 Соотношения между топологическими матрицами. Полагаем, что при составлении матриц [A], [Qr], [Kr] выполнены условия, оговоренные в § 2.31. Тогда

Матрица А

Матрица К

Представим матрицу-столбец токов ветвей [Iв] в виде подматрицы токов ветвей дерева [Iд] и подматрицы токов ветвей связи [Iс]

Матрица I

Матрицу-столбец напряжений ветвей также представим в виде подматрицы напряжений ветвей дерева [Uд] и подматрицы напряжений ветвей связи [Uc]

Матрица U

По первому закону Кирхгофа [A] [Iв] = 0 или

[A1] [Iд] + [A2] [Ic] = 0          (2.55)

Алгебраическая сумма токов в любом сечении схемы равна нулю, поэтому [Qr] [Iв] = 0. Следовательно,

          (2.56)

По второму закону Кирхгофа, [Kr] [Uв] = 0, поэтому

          (2.57)

Учтем, что столбец [K1] соответствует строкам [Q2], если у всех ненулевых элементов изменить знаки. Следовательно,

[K1] = -[Q2]т и [Q2] = -[K1]т.          (2.58)

Обозначим

[F] = [K1] = -[Q2]т          (2.59)

Тогда

[Kr] = [F:1],          (2.60)

[Qr] = [1:-Fт].          (2.61)

Умножив (2.55) слева на [A]-1, получим

[Iд] = -[A1]-1 [A2] [Ic].          (2.62)

Но из (2.56) имеем [1] [Iд] = - [Q2] [Ic], поэтому

[Q2] = [A1]-1 [A2].          (2.63)

Дадим обоснование еще одному соотношению

[A] [Kr]т = 0.          (2.64)

Рис. 2.37

В каждой строке этого матричного произведения складываются произведения элементов i-строки aij на элементы k-столбца bkj. Произведение aijbkj не будет нулем, если j ветвь подходит к узлу i и входит в контур k (рис. 2.37). Но в контуре k узел i соединен не с одним, а с двумя узлами ветвями m и j, поэтому всегда будет еще ненулевое произведение aimbkm, отвечающее ветви m, независимо от того, как направлены стрелки на ветвях и каково направление обхода контура k. Следовательно, каждая строка (2.64) aijbkj + aimbkm = 0.

Соотношения между топологическими матрицами существенны для формализации расчета цепей на ЭВМ. Например, записав [Q2] = -[F]т, определяем [F] и по ней -[Kr].