SONEL - удобно, точно, надежно!
Наша библиотека
Теоретические основы электротехники

§ 2.34. Вывод уравнений метода контурных токов с помощью топологических матриц

Главная // .. // § 2.34. Вывод уравнений метода контурных токов с помощью топологических матриц

§ 2.34. Вывод уравнений метода контурных токов с помощью топологических матриц. Уравнение (2.48) справедливо для любой обобщенной ветви схемы, а также и для совокупности ветвей, входящих в любой главный контур. Запишем совокупность уравнений (2.48) для всех ветвей, входящих во все главные контуры:

[Kr] [Uв] + [Kr] [Eв] = [Kr] [Rв] {[Iв] + [Jв]},          (2.50)

где

Диагональная матрица сопротивлений ветвей - диагональная матрица сопротивлений ветвей.

Учтем, что по второму закону Кирхгофа сумма напряжений любого замкнутого контура электрической цепи равна нулю, поэтому [Kr][Uв] = 0. Кроме того, матрица-столбец токов ветвей [Iв] может быть записана через матрицу-столбец контурных токов [Ikk] и транспонированную матрицу главных контуров [Kr]т:

[Iв] = [Kr]т[Ikk].          (2.51)

При этом полагаем, что контурный ток каждого главного контура направлен в соответствии со стрелкой на ветви связи этого контура. Контурные токи I44, I55, I66 схемы рис. 2.34, г показаны на рис. 2.35. Для этой схемы

Отсюда

I1 = I44 + I66; I2 = I44 - I55 + I66; I3 = I55 - I66; I4 = I44; I5 = I55; I6 = I66.

Подставив (2.51) в (2.50), получим

[Kr] [Rв] [Kr]т [Ikk] = [Kr] [Eв] - [Kr] [Rв] [Jв].          (2.52)

Произведение [Kr] [Rв] [Kr]т = [R] - это матрица контурных сопротивлений метода контурных токов. Так как контуры нумеруем от у до в, то

Матрица сопротивлений,

где Rm..m - полное сопротивление m-контура; Rm.n - сопротивление ветви (ветвей) смежной между m- и n-контурами; берется со знаком плюс, если контурные токи Im,m и In,n текут через смежную ветвь согласно, и со знаком минус, если встречно.

Для рис. 2.34, г, полагая сопротивления ветвей R1 - R6, имеем

Матрица сопротивлений

Запишем решение (2.52) относительно [Ikk].

[Ikk] = {[Kr] [Rв] [Kr]т}-1 [Kr] {[Eв] - [Rв] [Jв]}.          (2.53)