SONEL - удобно, точно, надежно!
Наша библиотека
Теоретические основы электротехники

§ 2.23. Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду

Главная // .. // § 2.23. Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду
§ 2.23.Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду. Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (рис. 2.25), называют звездой, а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 2.26), — треугольником. В узлах 1, 2, 3 (потенциалы их Φ1, Φ2 и Φ3) треугольник и звезда соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках).
Обозначим токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3, через I1, I2 и I3.
Часто при подсчете электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовывать треугольник в звезду. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи одинаковы, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены. Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи I1, I2 и I33 в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.
Для звезды

для звезды

Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду

рисунок 2.25 и рисунок 2.26


Приборы для анализа качества электроэнергии

PQM-700 Анализатор параметров качества электрической энергии
PQM-702 Анализатор параметров качества электрической энергии
PQM-703 Анализатор параметров качества электрической энергии
PQM-710 Анализатор параметров качества электрической энергии
PQM-711 Анализатор параметров качества электрической энергии



Подставим (2.24) в (2.23) и найдем Φ0:

Подставим (2.24) в (2.23) и найдем Φ

откуда


Введм Φ0 в выражение (2.24) для тока I1:

Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду

Для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 2.26

Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду

Так как ток I1, в схеме рис. 2.25 равен току I1 в схеме рис. 2.26 при любых значениях потенциалов Φ1Φ2Φ3, то коэффициент при Φ2 в правой части (2.27) равен коэффициенту при Φ2 в правой части (2.26), а коэффициент при Φ3 в правой части (2.27) — коэффициенту при Φ3 в правой части (2.26).
Следовательно



Аналогично,



Формулы (2.28) — (2.30) дают возможность определить проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды. Они имеют легко запоминающуюся структуру: индексы у проводимостей в числителе правой части соответствуют индексам у проводимости в левой части; в знаменателе — сумма проводимостей лучей звезды.

Из уравнений (2.28) — (2.30) выразим сопротивления лучей звезды   уравнения через сопротивления сторон треугольника:   сопротивление сторон треугольника
С этой целью запишем дроби, обратыне (2.28)-(2.30):



где



Подставив (2.31),(2.33) и (2.34) в (2.32), получим


следовательно,



Подставив m в (2.33), найдем



Аналогично,



Структура формул (2.35) — (2.37) аналогична структуре формул (2.28) — (2.30).
Преобразование треугольника в звезду можно пояснить, рас-смотрев, например, схему рис. 2.27, а, б. На рис. 2.27, а изображена схема до преобразования, пунктиром обведен преобразуемый треугольник. На рис. 2.27, б представлена та же схема после преобра-зования. Расчет токов произвести для нее проще (например, методом двух узлов), чем для схемы рис. 2.27, а.
В полезности преобразования звезды в треугольник можно убедиться на примере схем рис. 2.27, в, г. На рис. 2.27, в изображена схема до преобразования, пунктиром обведена преобразуемая в треугольник звезда. На рис. 2.27, г представлена схема после преобразования, которая свелась к последовательному соединению сопротивлений1.

рисунок 2.27


Пример 24. Найти значение сопротивлений R1,R2,R3 в схеме рис. 2.27, б, если сопротивления R12, R13, R13 в схеме рис. 2.27, a равны соответственно 2,3,5 Ом.
Решение По формуле (2.35),