SONEL - удобно, точно, надежно!
Наша библиотека
Теоретические основы электротехники

§ 2.22. Метод узловых потенциалов

Главная // .. // § 2.22. Метод узловых потенциалов

§ 2.22. Метод узловых потенциалов. Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме n узлов. Так каклюбая(одна)точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n - 1.

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем метод контурных токов.

Рис. 2.24

Обратимся к схеме рис. 2.24, которая имеет довольно большое число ветвей (11) и сравнительно небольшое число узлов (4). Если узел 4 мысленно заземлить, т. е. принять φ4 = 0, то необходимо определить потенциалы только трех узлов: φ1, φ2, φ3. Для единообразия в обозначениях условимся в § 2.22 токи писать с двумя индексами: первый индекс соответствует номеру узла, от которого ток утекает, второй индекс - номеру узла, к которому ток подтекает. Проводимости ветвей также будут снабжаться двумя индексами. Необходимо заметить, что эти проводимости не имеют ничего общего с входными и взаимными проводимостями ветвей, которые рассматривались в § 2.15.

В соответствии с обозначениями токов на рис. 2.24 составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

I41' - I14'' + I21''' - I12' + I21'' + I31 = 0,

или

[E41' - (φ1 - φ4)] g41' - [E14'' - (φ4 - φ1)] g11'' + [0 - (φ1 - φ2)] x g12''' - [E12' - (φ2 - φ1)] g12' + [E21'' - (φ1 - φ2)] g12'' + [E31 - (φ1 - φ3)] g13 = 0.

Перепишем последнее уравнение следующим образом:

φ1G11 + φ2G12 + φ3G13 = J11,

где

G11 = g41' + g13 + g12'' + g41'' +g12' +g12''';

G12 = - (g12' +g12''' +g12''); G13 = - g13;

J11 = E41'g41' + E31g31 + E21''g21'' - E14''g41'' - E12'g12'.

Подобные же уравнения могут быть записаны и для остальных узлов схемы. Если схема имеет n узлов, то ей соответствует система из n - 1 уравнений:

истема из n - 1 уравнений

В общем случае Gkk - сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k; Gkm - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы k и m, взятая со знаком минус. Если между какими-либо двумя узлами ветвь отсутствует, то соответствующая проводимость равна нулю. В формировании узлового тока k-узла Jkk участвуют те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники ЭДС и (или) тока. Если ЭДС Ер р-ветви направлены к k-узлу, то ее вклад в формирование Jkk равен Epgp, а если эта ЭДС направлена от k-узла, то ее вклад составляет - Еpgp. Если к k-узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть введен в Jkk со знаком плюс, если этот ток от источника тока утекает, то он должен входить в Jkk со знаком минус. После решения системы (2.22) относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

В том случае, когда в схеме имеются два узла, соединенных ветвью, в которой имеется ЭДС, а сопротивление ее равно нулю, перед составлением системы уравнений по методу узловых потенциалов один из этих узлов рекомендуется устранить в соответствии с приемом, рассмотренным в § 2.24.

Система уравнений (2.22) может быть представлена в матричной форме записи:

[G] [φ] = [Jkk],          (2.22а)

Ее решение

          (2.22 6)

Еще Максвеллом было установлено, что распределение токов в электрических цепях всегда происходит так, что тепловая функция системы

Тепловая функция системы

минимальна. Коэффициент 1/2 обусловлен тем, что при двойном суммировании мощность каждой ветви учитывается дважды. Доказательство основано на том, что совокупность уравнений (2.22) является совокупностью условий минимума функции Р, т. е.совокупностью условий Совокупность условий и т. д. Так как вторые производные Вторые производные положительны, то это и является доказательством минимума тепловой функции Р.

Пример 23. Найти токи в ветвях схемы рис. 2.24 и сделать проверку по второму закону Кирхгофа. Дано: E41' = 10 В; E14'' = 6 В; E12'' = 20 В; E21'' = 30 В; E31 = 14 В; E24 = 10 В; E43 = 8 В; E23'' = 12 В; E32' = 7 B; R41' = 1 Ом; R14'' = 2 0m; R12' = 10 Ом; R21'' = 5 Ом; R31 = 2 Ом; R24 = 4 Ом; R34 = 2 Ом; R23'' = 4 Ом; R32' = 2 Ом. Источник тока, включенный между узлами 3 и 2, дает ток J32 = 1,5 А.

Решение. Записываем систему уравнений:

Система уравнений

Подсчитываем проводимости:

Проводимость

Проводимость

Проводимость

Проводимость

Проводимость

Проводимость

При подсчете G22, G33 и G23 учтено, что проводимость ветви с источником тока равна нулю (сопротивление источника тока равно бесконечности).

Узловые токи:

&&&&

&&&&

J33 = - 3,5 + 3 - 7 + 4 - 1,5 = - 5 A

Система уравнений

2,4φ1 - 0,4φ2 - 0,5φ3 = 15;

- 0,4φ1 + 1,4φ2 - 0,75φ3 = - 1,5;

- 0,5φ1 - 0,75φ2 + 1,75φ3 = - 5

имеет решение φ1 = 6 B; φ2 = 0,06 B; φ3 = - 1,07 B.

Заключительный этап расчета состоит в подсчете токов по закону Ома. Перед определением токов в ветвях схемы следует эти токи обозначить и выбрать для них положительные направления:

Ток

Ток

Ток

Сделаем проверку решения но второму закону Кирхгофа для периферийного контура.

Алгебраическая сумма падений на пряжений 4·1 + 1,185·5 - 2,92·2 - 4,55·2 ≈ - 5 В.

Алгебраическая сумма ЭДС 10 - 7 - 8 = - 5 В.

Покажем, что основная формула (2.20) метода двух узлов получается как частный случай (2.22). Действительно, если один узел схемы (рис. 2.23), например узел b, заземлить, то остается найти только один потенциал φа = Uab. Для получения формулы (2.20) из (2.22) следует положить φ1 = φа = Uab; φ2 = φ3 = φ4 = ... = 0.