SONEL - удобно, точно, надежно!
Наша библиотека
Теоретические основы электротехники

§ 2.18. Линейные соотношения в электрических цепях

Главная // .. // § 2.18. Линейные соотношения в электрических цепях

§ 2.18. Линейные соотношения в электрических цепях. Если в линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какой-либо одной ветви, то две любые величины (токи и напряжения) двух любых ветвей связаны друг с другом линейными зависимостями вида y = a + bx.

Функцию x выполняет ток или напряжение одной ветви, функцию y - ток или напряжение другой ветви.

Доказательство. Согласно методу контурных токов, общее выражение для тока в k-ветви записывается в виде (2.7). Если в схеме изменяется только одна ЭДС, например ЭДС Еm то все слагаемые в (2.7), кроме слагаемого Emgkm, постоянны и могут быть для сокращения записи заменены некоторым слагаемым Аk. Следовательно,

Ik = Ak + Emgkm          (2.12)

Аналогично, для р-ветви

Ip = Ap + Emgpm          (2.13)

Найдем Еm из (2.13):

Em = (Ip - Ap)/gpm

и подставим в (2.12). Получим

Ik = ak + bkIp          (2.14)

где ak = Ak- Apgkm; bk = gkm/gpm

Коэффициенты ak и bk могут быть . В частном случае либо ak, либо bk может быть равно нулю.

Равенство (2.14) свидетельствует о том, что при изменении ЭДС Em токи Ik и Ip связаны линейной зависимостью. Из теоремы компенсации известно, что любое сопротивление можно заменить источником ЭДС. Следовательно, изменение сопротивления в m-ветви эквивалентно изменению ЭДС Еm. Таким образом, линейное соотношение между двумя любыми токами (2.14) имеет место при изменении не только ЭДС Еm, но и сопротивления какой-то m-ветви.

Если обе части (2.12) умножить на сопротивление k-ветви Rk и проделать аналогичные выкладки, то можно убедиться в том, что напряжение k-ветви линейно связано с током в р-ветви.

Коэффициенты ak и bk из (2.14) и в других подобных выражениях могут быть найдены расчетным или опытным путем.

При опытном определении коэффициентов достаточно найти значения двух токов (соответственно напряжений) при двух различных режимах работы схемы и затем решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть, например, в первом опыте Ik = Ik1 и Ip = Ip1 а во втором Ik = Ik2 и Ip = Iр2.

Тогда

Ik1 = ak + bkIp1; Ik2 = ak + bkIp2,

Если в схеме одновременно изменяются ЭДС или сопротивления в каких-либо двух ветвях, то любые три величины в этой схеме (токи, напряжения) связаны друг с другом линейным соотношением вида у = а + bх + cz.

Доказательство этого соотношения проводится аналогично приведенному ранее.

Рис. 2.20

Пример 18. На рис. 2.20, а изображена схема, в которой выделены три ветви. В ветви 1 включен амперметр А1, в ветви 2 - амперметр А2. В ветви 3 имеются ключ К и сопротивление R3. Если К разомкнут, то амперметр А1 показывает 1 А, амперметр А2 - 5 А. При замкнутом ключе амперметр А1 показывает 2 А, а амперметр А2 - 4 А. При замкнутом ключе сопротивление R3 изменили так, что показание амперметра А2 стало 4,5 А. Каково показание амперметра А1 в этом режиме?

Решение. Выразим I1 через I2:I1 = a + bI2. Составим уравнение для определения а и b:

I = a + 5b; 2 = a + 4b.

Отсюда a = 6 и b = - 1. При I2 = 4,5 А; I1 = 6 - 4,5·1 = 1,5 А.

Пример 19. В схеме рис. 2.20, б сопротивление R изменяется от нуля до бесконечности. Вывести зависимость напряжения Ucd от напряжения Uab.

Решение. При разомкнутой ветви ab U<sub>cd</sub> и U<sub>ab</sub>. При коротком замыкании ветви ab U<sub>cd</sub> и Uab = 0. Отсюда a и b. Следовательно, U<sub>cd</sub>.