§ 2.18. Линейные соотношения в электрических цепях

§ 2.18. Линейные соотношения в электрических цепях. Если в линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какой-либо одной ветви, то две любые величины (токи и напряжения) двух любых ветвей связаны друг с другом линейными зависимостями вида y = a + bx.

Функцию x выполняет ток или напряжение одной ветви, функцию y - ток или напряжение другой ветви.

Доказательство. Согласно методу контурных токов, общее выражение для тока в k-ветви записывается в виде (2.7). Если в схеме изменяется только одна ЭДС, например ЭДС Е_m то все слагаемые в (2.7), кроме слагаемого E_mg_km, постоянны и могут быть для сокращения записи заменены некоторым слагаемым А_k. Следовательно,

I_k = A_k + E_mg^km          (2.12)

Аналогично, для р-ветви

I_p = A_p + E_mg_pm          (2.13)

Найдем Е_m из (2.13):

E_m = (I_p - A_p)/g_pm

и подставим в (2.12). Получим

I_k = a_k + b_kI_p          (2.14)

где a_k = A_k- A_pg_km; b_k = g_km/g_pm

Коэффициенты a_k и b_k могут быть . В частном случае либо a_k, либо b_k может быть равно нулю.

Равенство (2.14) свидетельствует о том, что при изменении ЭДС E_m токи I_k и I_p связаны линейной зависимостью. Из теоремы компенсации известно, что любое сопротивление можно заменить источником ЭДС. Следовательно, изменение сопротивления в m-ветви эквивалентно изменению ЭДС Е_m. Таким образом, линейное соотношение между двумя любыми токами (2.14) имеет место при изменении не только ЭДС Е_m, но и сопротивления какой-то m-ветви.

Если обе части (2.12) умножить на сопротивление k-ветви R_k и проделать аналогичные выкладки, то можно убедиться в том, что напряжение k-ветви линейно связано с током в р-ветви.

Коэффициенты a_k и b_k из (2.14) и в других подобных выражениях могут быть найдены расчетным или опытным путем.

При опытном определении коэффициентов достаточно найти значения двух токов (соответственно напряжений) при двух различных режимах работы схемы и затем решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть, например, в первом опыте I_k = I_k1 и I_p = I_p1 а во втором I_k = I_k2 и I_p = I_р2.

Тогда

I_k1 = a_k + b_kI_p1; I_k2 = a_k + b_kI_p2,

Если в схеме одновременно изменяются ЭДС или сопротивления в каких-либо двух ветвях, то любые три величины в этой схеме (токи, напряжения) связаны друг с другом линейным соотношением вида у = а + bх + cz.

Доказательство этого соотношения проводится аналогично приведенному ранее.

Пример 18. На рис. 2.20, а изображена схема, в которой выделены три ветви. В ветви 1 включен амперметр А₁, в ветви 2 - амперметр А₂. В ветви 3 имеются ключ К и сопротивление R₃. Если К разомкнут, то амперметр А₁ показывает 1 А, амперметр А₂ - 5 А. При замкнутом ключе амперметр А₁ показывает 2 А, а амперметр А₂ - 4 А. При замкнутом ключе сопротивление R₃ изменили так, что показание амперметра А₂ стало 4,5 А. Каково показание амперметра А₁ в этом режиме?

Решение. Выразим I₁ через I₂:I₁ = a + bI₂. Составим уравнение для определения а и b:

I = a + 5b; 2 = a + 4b.

Отсюда a = 6 и b = - 1. При I₂ = 4,5 А; I₁ = 6 - 4,5·1 = 1,5 А.

Пример 19. В схеме рис. 2.20, б сопротивление R изменяется от нуля до бесконечности. Вывести зависимость напряжения U_cd от напряжения U_ab.

Решение. При разомкнутой ветви ab и . При коротком замыкании ветви ab и U_ab = 0. Отсюда и . Следовательно, .