SONEL - удобно, точно, надежно!
Наша библиотека
Теоретические основы электротехники

§ 2.16. Теорема взаимности

Главная // .. // § 2.16. Теорема взаимности

§ 2.16. Теорема взаимности. Теорема взаимности формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток в k-ветви, вызванный источником ЭДС Еm находящимся в m-ветви, Ik = Emgkm равен току lm в m-ветви, вызванному источником ЭДС Ek (численно равной ЭДС Em), находящимся в k-ветви, Im = Ekgmk.

Рис. 2.15

Для доказательства теоремы взаимности обратимся к рис. 2.15,а. Как и при выводах в § 2.15, выделим две ветви схемы: ветвь k и ветвь m. Включим в ветвь m источник ЭДС Еm, в ветвь k - амперметр А1 для измерения тока Ik. Пусть каждая из ветвей k и m входит соответственно только в k- и m-контуры. Поэтому по методу контурных токов Ik = EmΔkm. Поменяем местами источник ЭДС и амперметр, т. е. источник ЭДС переместим из ветви m в ветвь k и назовем теперь Ek, а амперметр - из ветви k в ветвь m. В этом случае ток Im = Ek Δmk.

Так как Ek = Еm, a Δmk = Δkm в силу симметрии определителя системы Δ относительно главной диагонали (см. § 2.13), то ток Ik в схеме рис. 2.15, б равняется току Im в схеме рис. 2.15, в.

При практическом использовании теоремы взаимности важно иметь в виду взаимное соответствие направлений токов и ЭДС в схемах рис. 2.15, б, в.

Так, если ЭДС Ek источника ЭДС, находящегося в k-ветви схемы рис. 2.15, в, направлена согласно с контурным током Ik в схеме рис. 2.15, б, то положительное направление отсчета для тока Im в схеме рис. 2.15, в будет совпадать с положительным направлением контурного тока по ветви m (ЭДС Еm в схеме рис. 2.15, в направлена по Im).

Для нелинейных цепей теорема (принцип) взаимности невыполнима. Цепи, для которых не выполняется принцип взаимности, называют необратимыми.

Рис. 2.17

Пример 16. В схеме рис. 2.17 переключатели P1, Р2, РЗ и Р4 могут находиться в первом или во втором положении. Если они находятся в положении 1 то в схеме включен только один источник ЭДС Е4. Под действием ЭДС Е4 протекают токи I1 = 1,5 А, I2 = ЗА, I3 = 1А. Найти ток I4, если все переключатели находятся в положении 2, полагая, что E1 = 20 В, E2 = 40 В, ЕЗ = 50 В, Е4 = 10 В.

Решение. Для определения тока I4 воспользуемся принципом наложения и принципом взаимности. Если бы в схеме был включен один источник ЭДС E1 = 10 В, а остальные (E2 и E3)отсутствовали, то в ветви 41 но принципу взаимности протекал бы сверху вниз ток в 1,5 А. Так как ЭДС E1 = 20 В, то в ветви 4 протекает ток, равный 1,5·20/10 = 3 А. Аналогичным образом найдем токи в ветви 4 при включении источников ЭДС E2 и E3 и произведем алгебраическое сложение частичных токов (с учетом их направления):

Ток

1Амперметр включаем только для наглядности; сопротивление амперметра по-лагаем равным нулю.

Ток