SONEL - удобно, точно, надежно!
Наша библиотека
Теоретические основы электротехники

§ 2.30. Основные свойства матриц и простейшие операции с ними

Главная // .. // § 2.30. Основные свойства матриц и простейшие операции с ними

§ 2.30. Основные свойства матриц и простейшие операции с ними. Матрица - это совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Чтобы отличать матрицу по внешнему виду от определителя, ее заключают в квадратные скобки. Каждый элемент матрицы снабжают двумя индексами: первый соответствует номеру строки, второй - номеру столбца.

Матрицу называют квадратной, если число строк в ней равно числу столбцов

Квадратная матрица

Диагональной называют матрицу, у которой элементы главной диагонали не равны нулю, а все остальные - нули, например:

Диагональная матрица

Матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные - нули, называют единичной:

Единичная матрица

Неопределенной называют матрицу, у которой сумма элементов любой строки и любого столбца равна нулю.

Две матрицы равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.

Матрица равна матрице , если а11=b11, al2=bl2, а21=b21, a22=b22.

У равных матриц равны определители. В рассматриваемом примере a11a22 - a12a21 = b11b22 - b12b21, но из равенства двух определителей еще не следует равенства самих матриц. Операции над матрицами (их сложение, умножение) постулированы из соображений рациональности. При сложении (вычитании) матриц следует сложить (вычесть) соответствующие элементы этих матриц:

Операции над матрицами

При умножении двух матриц (число столбцов первой должно быть равно числу строк второй) i-ю строку первой матрицы умножают на k-й столбец второй. Умножим две матрицы, элементами которых являются числа

Умножение матриц

Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что [А][В] ≠ [B][A], т.е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомножителей. По отношению к матрице [A], когда ее определитель не равен нулю, можно составить обратную матрицу [А]-1. Для этого необходимо: а) каждый элемент исходной матрицы [A] заменить его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы [А].

Пример 28. Составить [A]-1 для Матрица А.

Решение. Заменив элементы на алгебраические дополнения, получим матрицу . После транспонирования имеем . Следовательно,

Произведение [А][А]-1 = [1].

Для решения уравнения [А][В]=[С] относительно матрицы [В] следует обе части этого уравнения умножить на [А]-1:[A]-1[A][В]=[A]-1[С] и учесть, что [A]-1[A]=[1]. В результате получим [В]=[A]-1[С]. В матричном уравнении [A][Х]=0 можно переставлять столбцы в матрице [A] при одновременной перестановке строк в матрице [X].