SONEL - удобно, точно, надежно!
Наша библиотека
Теоретические основы электротехники

§ 1.2 Интегральные и дифференциальные соотношения между основными величинами, характеризующими поле

Главная // .. // § 1.2 Интегральные и дифференциальные соотношения между основными величинами, характеризующими поле

§ 1.2. Интегральные и дифференциальные соотношения между основными величинами, характеризующими поле.Электромагнитные поля могут быть описаны интегральными или дифференциальными соотношениями. Интегральные соотношения относятся к объему (длине, площади) участка поля конечных размеров, а дифференциальные - к участку поля физически бесконечно малых размеров. Они выражаются операциями градиента, дивергенции, ротора (раскрытие операции grad, div и rot в различных системах координат см. в III части курса). В макроскопической теории поля описывают свойства поля, усредненные по бесконечно малому физическому объему и во времени. Этот объем в отличие от математически бесконечно малого объема может содержать большое число атомов вещества. Дифференциальные уравнения макроскопической теории поля не описывают поля внутри атомов, для чего, как известно, служат уравнения квантовой теории поля.

В электростатическом поле поток вектора напряженности электрического поля Вектор напряженности электрического поля через замкнутую поверхность (рис. 1.1) равен свободному заряду Свободный заряд, находящемуся внутри этой поверхности, деленному на (теорема Гаусса):

Теорема Гаусса          (1.1)

где Элемент поверхности, направленный в сторону внешней нормали к объему - элемент поверхности, направленный в сторону внешней нормали к объему; Относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика - относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

В дифференциальной форме теорема Гаусса записывается так:

Теорема Гаусса в дифференциальной форме          (1.2)

(Объемная плотность свободного заряда - объемная плотность свободного заряда, Кл/м3).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Переход от (1.1) к (1.2) осуществляют делением обеих частей (1.1) на объем V, находящийся внутри поверхности S, и стремлении объема V к нулю.

Физически Исток вектора в данной точке означает исток вектора в данной точке.

В электростатическом поле и в стационарном электрическом поле на заряд q действует сила Сила. Отсюда следует, что Вектор напряженности электрического поля может быть определена как силовая характеристика поля Cиловая характеристика поля. Если q под действием сил поля переместится из точки 1 в точку 2 (рис. 1.2), то силы поля совершат работу Работа, где Элемент пути из 1 в 2 - элемент пути из 1 в 2.

Под разностью потенциалов U12 между точками 1 и 2 понимают работу, совершаемую силами поля при переносе заряда q = 1 Кл из точки 1 в точку 2,

Разность потенциалов          (1.3)

U12 не зависит от того, по какому пути происходило перемещение из точки 1 в точку 2. Выражению (1.3) соответствует дифференциальное соотношение

Дифференциальное соотношение          (1.4)

Градиент φ (grad φ) в некоторой точке поля определяет скорость изменения φ в этой точке, взятую в направлении наибольшего его возрастания. Знак минус означает, что Вектор напряженности электрического поля и grad φ направлены противоположно.

Электрическое поле называют потенциальным, если для него . Электрическое поле поляризованного диэлектрика описывается вектором электрического смещения (индукции)

Dектор электрического смещения          (1.5)

где Поляризованность диэлектрика - поляризованность диэлектрика, которая равна электрическому моменту единицы объема поляризованного диэлектрика.

В стационарном неизменном во времени электрическом поле в проводящей среде в смежные моменты времени распределение зарядов одинаково, поэтому для этого поля справедливо определение разности потенциалов по формуле Разность потенциалов.

Внутри источника постоянной ЭДС результирующая напряженность электрического поля Результирующая напряженность электрического поля равна векторной сумме потенциальной (кулоновой) составляющей Векторная сумме потенциальной (кулоновой) составляющей и сторонней составляющей Сторонняя составляющая:

Результирующая напряженность электрического поля

Сторонняя составляющая разделяет заряды внутри источника, она обусловлена химическими, электрохимическими, тепловыми и другими процессами не электростатического происхождения и направлена встречно Векторная сумме потенциальной (кулоновой) составляющей. В электромагнитном поле могут протекать электрические токи. Под электрическим током понимают направленное (упорядоченное) движение электрических зарядов. Ток в некоторой точке поля характеризуется своей плотностью Плотность тока(А/м2). Известны три вида тока: ток проводимости (плотность его Плотность тока проводимости), ток смещения (плотностью Плотность тока смещения) и ток переноса (плотностью Плотность тока переноса). Ток проводимости протекает в проводящих телах под действием электрического поля, плотность его пропорциональна Вектор напряженности электрического поля

Плотность тока проводимости          (1.6)

где γ - удельная проводимость проводящего тела, Ом-1·м-1. В металлах ток проводимости обусловлен упорядоченным движением свободных электронов, в жидкостях - движением ионов. Плотность тока смещения в диэлектрике равна производной по времени от вектора электрического смещения Вектор электрического смещения:

Плотность тока смещения

          (1.7)

Слагаемое Составляющая тока смещения представляет собой составляющую тока смещения, обусловленную изменением во времени напряженности поля Вектор напряженности электрического поля в вакууме. Носителями тока смещения в физическом вакууме (в нем нет частиц вещества) являются виртуальные частицы. Они всегда возникают парами, какбы из ничего, например, электрон и позитрон, или протон и антипротон и т. п. Каждая пара виртуальных частиц является коротко живущей (время жизни Время жизни пары виртуальных частиц). Составляющие ее частицы могут перемещаться на очень малое расстояние Расстояние перемещение частиц, а затем эти частицы с противоположного знака зарядами аннигилируют. Каждая виртуальная частица обладает разбросом энергии Разброс энергии виртуальной частицы и разбросом импульса Разброс импульса виртуальной частицы, где постоянная Планка h = 6,626 · 10-34 Дж·с. Для каждой пары виртуальных частиц выполняется закон сохранения заряда, но в рамках соотношения неопределенностей наблюдаются местные нарушения закона сохранения энергии и закона сохранения импульса. Слагаемое обусловлено изменением поляризованности во времени (изменением расположения связанных зарядов в диэлектрике при изменении Вектор напряженности электрического поля во времени). В качестве примера тока смещения может быть назван ток через конденсатор. Ток переноса обусловлен движением электрических зарядов в свободном пространстве. Примером тока переноса может служить ток в электронной лампе. Если положительный заряд объемной плотности Положительный заряд объемной плотности движется со скоростью Скорость положительного заряда объемной плотности и отрицательный заряд объемной плотности Отрицательный заряд объемной плотности со скоростью Скорость отрицательного заряда объемной плотности, то плотность тока переноса в этом поле Плотность тока переноса в явном виде не зависит от напряженности Вектор напряженности электрического поля в данной точке поля. Если в некоторой точке поля одновременно существовали бы все три вида тока, то полная плотность тока Полная плотность тока. Для большинства задач ток переноса отсутствует.

Ток - это скаляр алгебраического характера. Полный ток через поверхность S равен

Полный ток через поверхность S          (1.8)

Если в электромагнитном поле выделить некоторый объем, то ток, вошедший в объем, будет равняться току, вышедшему из объема, т. е.

Полная плотность тока          (1.9)

где Элемент поверхности объема - элемент поверхности объема, он направлен в сторону внешней поотношению к объему нормали к поверхности. Последнее уравнение выражает принцип непрерывности полного тока: линии полного тока представляют замкнутые линии, не имеющие ни начала, ни конца.

Рис. 1.3 Рис. 1.4

Электрические токи неразрывносвязаны с магнитным полем. Эта связь определяется интегральной формой закона полного тока

Интегральная форма закона полного тока          (1.10)

циркуляция вектора по замкнутому контуру равна полному току, охваченному этим контуром; Элемент длины контура - элемент длины контура (рис. 1.3). Таким образом, все виды токов, хотя и имеют различную физическую природу, обладают свойством создавать магнитное поле.

Ферромагнитные вещества обладают спонтанной намагниченностью. Характеристикой ее является магнитный момент единицы объема вещества Магнитный момент единицы объема вещества (его называют намагниченностью). Для ферромагнитных веществ

          (1.11)

где Относительная магнитная проницаемость - относительная магнитная проницаемость; Абсолютная магнитная проницаемость - абсолютная магнитная проницаемость.

Напряженность магнитного поля

Напряженность магнитного поля          (1.12)

равна разности двух векторных величин и Магнитный момент единицы объема вещества.

Закон полного тока в интегральной форме часто записывают в виде

Закон полного тока в интегральной форме          (1.13)

или в дифференциальной форме

Закон полного тока в дифференциальной форме          (1.14)

Запись (1.14) закона полного тока получили из (1.13), поделив обе части его на площадь Площадь полного тока, охваченную контуром интегрирования, и стремлении Площадь полного тока к нулю. Физический ротор (rot) характеризует поле в данной точке в отношении способности к образованию вихрей.

Плотность тока переноса в правой части последнего уравнения не учтена, так как он обычно отсутствует в задачах, решаемых с помощью этого уравнения. Магнитный поток через некоторую поверхность S (рис. 1.4) определяют как поток вектора через эту поверхность

Магнитный поток через некоторую поверхность          (1.15)

Поток Φ - это скаляр алгебраического характера, измеряется в веберах (Вб). Если поверхность S замкнутая и охватывает объем V, то поток, вошедший в объем, равен потоку, вышедшему из него, т. е.

Принцип непрерывности магнитного потока          (1.16)

Это уравнение выражает принцип непрерывности магнитного потока. Линии магнитной индукции - это замкнутые линии. В дифференциальной форме принцип непрерывности магнитного потока записывается так:

Принцип непрерывности магнитного потока дифференциальной форме          (1.17)

Рис. 1.5 Рис. 1.6

В 1831 г. М. Фарадей сформулировал закон электромагнитной индукции: ЭДС eинд наведенная в некотором одновитковом контуре пронизывающим этот контур, изменяющимся во времени магнитным потоком, определяется выражением

Закон электромагнитной индукции          (1.18)

здесь Индукционная составляющая напряженности электрического поля - индукционная составляющая напряженности электрического поля. Знак минус обусловлен правой системой отсчета: принято, что положительное направление отсчета для ЭДС и направление потока при его возрастании связаны правилом правого винта (рис. 1.5).

Если контур многовитковый (катушка с числом витков ω), то

Электромагнитная индукция          (1.19)

здесь Ψ - потокосцепление катушки, равное сумме потоков, пронизывающих отдельные витки катушки,

Потокосцепление катушки          (1.20)

Если все витки ω пронизываются одинаковыми потоками Φ, то

Результирующее потокосцепление

где Ψ - результирующее потокосцепление, оно может создаваться не только внешним по отношению к данному контуру потоком, но и собственным потоком, пронизывающим контур, при протекании по нему тока. В проводнике длиной Длина проводника, пересекающем магнитные силовые линии неизменного во времени магнитного поля индукции Магнитное поле индукции (рис. 1.6), вследствие силы Лоренца наводится ЭДС

          (1.21)

где Скорость перемещения проводника относительно магнитного поля - скорость перемещения проводника относительно магнитного поля.

В (1.21) Магнитное поле индукции скалярно умножается на векторное произведение Длина проводника и Скорость перемещения проводника относительно магнитного поля.

Если в результате расчета по (1.21) , то направлена по Длина проводника.

В 1833 г. русский академик Э. X. Ленц установил закон электромагнитной инерции. При всяком изменении магнитного потока, сцепляющимся с каким-либо проводящим контуром, в нем возникает индуктированная ЭДС, стремящаяся вызвать в контуре ток, который: 1) препятствует изменению потокосцепления контура; 2) вызывает механическую силу, препятствующую изменению линейных размеров контура или его повороту.

Закон электромагнитной индукции, примененный к контуру бесконечно малых размеров, записывается так:

Закон электромагнитной индукции, примененный к контуру бесконечно малых размеров          (1.22)

(в последней формуле индукционную составляющую напряженности поля Индукционная составляющая напряженности поля принято обозначать Вектор напряженности электрического поля). Обобщая, можно сказать, что электромагнитное поле описывается четырьмя основными уравнениями в интегральной форме:

Четыре основных уравнения, описывающих электромагнитное поле          (1.23)

Этим уравнениям отвечают четыре уравнения в дифференциальной форме:

Основное уравнение, описывающее электромагнитное поле в дифференциальной форме          (а)
Основное уравнение, описывающее электромагнитное поле в дифференциальной форме          (б)
Основное уравнение, описывающее электромагнитное поле в дифференциальной форме          (в)
Основное уравнение, описывающее электромагнитное поле в дифференциальной форме          (г)

Они сформулированы в 1873 г. Д. Максвеллом. Их называют уравнениями Максвелла или уравнениями макроскопической электродинамики.

Уравнение (а) означает, что вихревое магнитное поле создается токами проводимости и токами смещения. Уравнение (б) свидетельствует о том, что изменение магнитного поля во времени вызывает вихревое электрическое поле. Уравнение (в) - магнитное поле не имеет источников и уравнение (г) - что истоком линий Вектор напряженности электрического поля являются свободные заряды. Частные производные в уравнениях (а) и (б) учитывают, что уравнения записаны для неподвижных тел и сред в выбранной системе координат.